# `cmath` --- 关于复数的数学函数

本模块提供了一些适用于复数的数学函数。 本模块中的函数接受整数、浮点数或复数作为参数。 它们也接受任意具有 `__complex__()` 或 `__float__()` 方法的 Python 对象：这些方法分别用于将对象转换为复数或浮点数，然后再将函数应用于转换后的结果。

備註

对于涉及分支切割的函数，我们会有确定如何在切割本身上定义这些函数的问题。 根据 Kahan 的论文 "Branch cuts for complex elementary functions"，以及 C99 的附录 G 和之后的 C 标准，我们使用零符号来区别分支切割的一侧和另一侧：对于沿实轴（一部分）的分支切割我们要看虚部的符号，而对于沿虚轴的分支切割我们则要看实部的符号。

例如，`cmath.sqrt()` 函数有一个沿着负实轴的分支切割。 参数 `complex(-2.0, -0.0)` 会被当作位于切支切割的 下方 来处理，因而将给出一个负虚轴上的结果。

    >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
    -1.4142135623730951j

但是参数 `complex(-2.0, 0.0)` 则会被当作是位于支割线的上方来处理:

    >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
    1.4142135623730951j

## 到极坐标和从极坐标的转换

使用 矩形坐标 或 笛卡尔坐标 在内部存储 Python 复数 `z`。 这完全取决于它的 实部 `z.real` 和 虚部 `z.imag`。 换句话说:

    z == z.real + z.imag*1j

极坐标 提供了另一种复数的表示方法。在极坐标中，一个复数 z 由模量 r 和相位角 phi 来定义。模量 r 是从 z 到坐标原点的距离，而相位角 phi 是以弧度为单位的，逆时针的，从正X轴到连接原点和 z 的线段间夹角的角度。

下面的函数可用于原生直角坐标与极坐标的相互转换。

cmath.phase(x)

  将 x 的相位 (或称 x 的 参数) 作为一个浮点数返回。 `phase(x)` 等价于 `math.atan2(x.imag, x.real)`。 结果将位于 [-π, π] 范围内，且此操作的支割线将位于负实轴上。 结果的符号将与 `x.imag` 的符号相同，即使 `x.imag` 的值为零:

      >>> phase(complex(-1.0, 0.0))
      3.141592653589793
      >>> phase(complex(-1.0, -0.0))
      -3.141592653589793

備註

一个复数 x 的模数（绝对值）可以通过内置函数 `abs()` 计算。没有单独的 `cmath` 模块函数用于这个操作。

cmath.polar(x)

  在极坐标中返回 x 的表达方式。返回一个数对 `(r, phi)`，r 是 x 的模数，phi 是 x 的相位角。 `polar(x)` 相当于 `(abs(x), phase(x))`。

cmath.rect(r, phi)

  通过极坐标的 r 和 phi 返回复数 x。相当于 `r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)`。

## 幂函数与对数函数

cmath.exp(x)

  返回 e 的 x 次方，e 是自然对数的底数。

cmath.log(x[, base])

  返回 x 的以 base 为底的对数。 如果没有指定 base，则返回 x 的自然对数。 存在一条支割线，即沿着负实轴从 0 到 -∞。

cmath.log10(x)

  返回底数为 10 的 x 的对数。它具有与 `log()` 相同的支割线。

cmath.sqrt(x)

  返回 x 的平方根。 它具有与 `log()` 相同的支割线。

## 三角函数

cmath.acos(x)

  返回 x 的反余弦。 存在两条支割线：一条沿着实轴从 1 到 ∞。 另一条沿着实轴从 -1 向左延伸到 -∞。

cmath.asin(x)

  返回 x 的反正弦。它与 `acos()` 有相同的支割线。

cmath.atan(x)

  返回 x 的反正切。 存在两条支割线：一条沿着虚轴从 `1j` 延伸到 `∞j`。 另一条沿着虚轴从 `-1j` 延伸到 `-∞j`。

cmath.cos(x)

  返回 x 的余弦。

cmath.sin(x)

  返回 x 的正弦。

cmath.tan(x)

  返回 x 的正切。

## 双曲函数

cmath.acosh(x)

  返回 x 的反双曲余弦。 存在一条支割线，沿着实轴从 1 向左延伸到 -∞。

cmath.asinh(x)

  返回 x 的反双曲正弦。 存在两条支割线：一条沿着虚轴从 `1j` 延伸到 `∞j`。 另一条沿着虚轴从 `-1j` 延伸到 `-∞j`。

cmath.atanh(x)

  返回 x 反双曲正切。 存在两条支割线：一条沿着实轴从 `1` 延伸到 `∞`。 另一条沿着实轴从 `-1` 延伸到 `-∞`。

cmath.cosh(x)

  返回 x 的双曲余弦值。

cmath.sinh(x)

  返回 x 的双曲正弦值。

cmath.tanh(x)

  返回 x 的双曲正切值。

## 分类函数

cmath.isfinite(x)

  如果 x 的实部和虚部都是有限的，则返回 `True`，否则返回 `False`。

  在 3.2 版新加入.

cmath.isinf(x)

  如果 x 的实部或者虚部是无穷大的，则返回 `True`，否则返回 `False`。

cmath.isnan(x)

  如果 x 的实部或者虚部是 NaN，则返回 `True` ，否则返回 `False`。

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

  若 a 和 b 的值比较接近则返回 `True`，否则返回 `False`。

  根据给定的绝对和相对容差确定两个值是否被认为是接近的。

  rel_tol 是相对容差 —— 它是 a 和 b 之间允许的最大差值，相对于 a 或 b 的较大绝对值。例如，要设置5％的容差，请传递 `rel_tol=0.05` 。默认容差为 `1e-09`，确保两个值在大约9位十进制数字内相同。 rel_tol 必须大于零。

  abs_tol 是最小绝对容差 —— 对于接近零的比较很有用。 abs_tol 必须至少为零。

  如果没有错误发生，结果将是： `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)` 。

  IEEE 754特殊值 `NaN` ， `inf` 和 `-inf` 将根据IEEE规则处理。具体来说， `NaN` 不被认为接近任何其他值，包括 `NaN` 。 `inf` 和 `-inf` 只被认为接近自己。

  在 3.5 版新加入.

  也參考

  PEP 485 —— 用于测试近似相等的函数

## 常數

cmath.pi

  数学常数 π ，作为一个浮点数。

cmath.e

  数学常数 e ，作为一个浮点数。

cmath.tau

  数学常数 τ ，作为一个浮点数。

  在 3.6 版新加入.

cmath.inf

  浮点正无穷大。相当于 `float('inf')`。

  在 3.6 版新加入.

cmath.infj

  具有零实部和正无穷虚部的复数。相当于 `complex(0.0, float('inf'))`。

  在 3.6 版新加入.

cmath.nan

  浮点“非数字”（NaN）值。相当于 `float('nan')`。

  在 3.6 版新加入.

cmath.nanj

  具有零实部和 NaN 虚部的复数。相当于 `complex(0.0, float('nan'))`。

  在 3.6 版新加入.

请注意，函数的选择与模块 `math` 中的函数选择相似，但不完全相同。 拥有两个模块的原因是因为有些用户对复数不感兴趣，甚至根本不知道它们是什么。它们宁愿 `math.sqrt(-1)` 引发异常，也不想返回一个复数。 另请注意，被 `cmath` 定义的函数始终会返回一个复数，尽管答案可以表示为一个实数（在这种情况下，复数的虚数部分为零）。

关于支割线的注释：它们是沿着给定函数无法连续的曲线。它们是许多复变函数的必要特征。 假设您需要使用复变函数进行计算，您将会了解支割线的概念。 请参阅几乎所有关于复变函数的（不太基本）的书来获得启发。 对于如何正确地基于数值目的来选择支割线的相关信息，一个良好的参考如下：

也參考

Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing's sign bit. In Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165--211.